在1712年，他被五个不同的王室所雇佣，它们
是：汉诺威，布伦瑞克一纽伦堡，柏林，维也
纳和彼得堡（这时塞尔已经和汉诺威合并了），
毫不奇怪，他经常受到来自它们之中的每一个
方面的埋怨，说他拿了钱不干活。而且，在他
再次到那个地方去之前，不时地不是这个就是
那个地方的薪水停发了。最强烈的埋怨来自汉
诺威，汉诺威的乔治·路德维希不无理由地认
为，他第一个有权对莱布尼茨的服务提出要求
而且格威尔夫家族的历史到现在已经准备了三
十多年了。1712年秋，莱布尼茨回到维也纳
他试图谋一个象赛本伯根大臣那样的专门职位
(这种职位是对非天主*开放的)但是没有
成功。他在那里呆了差不多两年，对让他返回汉
诺威的一再命令置之不顾。说他已经成为天主
教的密探的谣传，停止他的来自汉诺威的薪水，
或者是他的保护人选帝侯的妻子索菲的去世，
都没有使他离开。1714年9月，他终于回到汉诺
35
威，那是因为他听到王后安娜去世，以及乔治，
路德维希就要登上英国国王宝座的消息的缘故。
然而，到达汉诺威以后，他才发现乔治·路德
维希早在三天以前就离开此地到英国去了。
最后的年代(1714-1716)
对莱布尼茨的晚年生活，人们往往把它描
绘成一种在汉诺威极为悲惨的，无人过问的状
况。确实，莱布尼茨的晚年是相当悲惨的，但
是这并非由于他特别想去英国的缘故，更不是
因为他突然有了随王室移居国外的热望，因为
这是他四十年来竭力避免做的事。在王室中，
真正和他相处甚好的且至今尚活着的唯一的人
就是乔治·路德维希自己。乔治一贯保护他，
使他不受王室会议的敌视。乔治对他的许多怪
癖都采取了异常容忍的态度。当乔治1716年夏
天访问汉诺威时，他甚至还带着他一起渡假。
莱布尼茨的问题是：他现在已经是快七十
岁的人了，他已经太虚弱了。他既不能象以往
那样到处旅行，也不能在别的地方开始新的生
活。他确实曾打算去英国，而且在1715年时，
他产生一个离奇的想法，认为他自己将被任命
为英国官方历史学家。但是，他更为巴黎所吸
引。他不顾自己反法的政治观点，接受了路易
36
十四对他的邀请。而且要不是路易十四在1715
年死去的话，他可能已经成行。与此同时，他
正积极考虑搬到维也纳去，他甚至已经为在那
里购置一些财产而开始进行谈判。另一种可能
就是到柏林去，他还是柏林科学院的主席，再
不就是到圣彼得堡去，他在那里担任顾问。
他为没能写完格威尔夫家族史而感到内
疚，而且为此而极端艰苦地工作。他仍然希望
在他有生之年不仅要写完这部著作，而且在完
成之后他还有时间去着手写某些严肃的哲学著
作。恰巧他的某些最重要的哲学通信就是在这
个时期开始写的（如和英国神学家塞缪尔·克
拉克的通信，和法国耶稣会会士迪博斯的通信)。
但是，他的历史和哲学的巨著却没有完成
1716年11月14日，由于痛风和腹绞痛卧床
一周后，莱布尼茨平静地死在他的秘书和车夫
的面前。他享年七十岁。仍然留在汉诺威的议
会残余分子拒绝参加他的葬礼，但是人们仍以
同样正式的仪式将他埋葬在诺伊斯塔特教堂中。
简要评论
莱布尼茨一生被这样一个不可能实现的野
心所支配，那就是他企图在理智和政治活动的
各个领域中都出人头地。令人惊异的不是他经
37
常失败，而是他已经取得的如此之多的成就，
他的成功在于呕心沥血的工作，善于吸收他人
的思想，以及对他自己心灵的极度信任的一种
罕见的结合。无论何时，只要他抓住一个新课
题，他就查阅所能找到的与此有关的一切材料。
但是他并不屈从于传统的观念和假设。另一方
面，他希望产生一些与他的天才相当的不朽作
品，它们应该既是完满的，也全都是他自己的。
这种愿望使他不可能完成任何东西。除了他的
笔记，信件和文章，他从来没有写出一部他特
别感兴趣的问题的专著来。当他谈格威尔夫计
划时，他的助手艾克哈特把它很好地记录下来，
就象处理数一样，他知道如何扩展他的历史进
程以至无穷。
他的爱慕虚荣使他花费过多的时间穿行于
各宫廷之间，并且使他去讨好贵族。在他比较
年轻的时候，有一个好名声：举止优雅的朝臣，
博学多闻者以及才子（奥尔良公爵夫人在谈到
他时说：“时觉而雅致的打扮，会说笑话，对于知
识分子来说这是少有的”)。但是当他迈进暮年
之时，他的过时打，过分华丽的服饰，过大
的黑色假发以及他那半瓶醋似的计划使他成为
笑的对象。乔治·路德维希的弟弟曾把他比
作一个“考古新发现”,并且认为,彼得大帝大概
38
一定误认他为沃尔芬比特尔公爵的一个小丑
他之所以会被他的议员同事们所憎恨，是
有各种各样原因的。他以一个来自莱比锡的法
国化的局外人开始；他被免除了正规的单调的
职责；他用了大部分时间到国外去旅行，而且
参加了远远超出他的地位的社交活动（特别是
和皇族女性的交往，诸如与普鲁士的索菲·夏
洛特皇后，以及汉诺威选帝侯的妻子索菲的交
往)他干预同僚的事务，但是他从未做过人家
一直出钱让他去做的工作；他设法搞到额外的
高薪（他对钱着了迷，而且经常为增加工资和
经费而责骂他的顾主)但是最大的嫌疑或许还
在于他那效忠于竞争（有时是敌对）国家的非
汉诺威人的性格，加之他与罗马天主*以及
耶稣会士们都有亲密关系。如果他的同僚们怀
疑他是一个天主教的暗中支持者的话，那么市
民们则把他看成是一个无神论者，因为他从不
进教堂。人们送他一个绰号，叫Lovenix（什
么也不相信的人)对此他特别评论道：他确实
是一个什么都不相信的人，因为他只相信他所
知道的东西。
莱布尼茨在他的家乡也不得人心，这是不
可避免的，他不得不为他在政治和宗教问题上
的普遍主义观点付出代价。为了一个更为广泛
39
的统一，他确实准备牺牲他自己的国家和党派
狭隘的利益，这就使得他起而反对他那个时代
的民族主义和地方主义。可悲的是：他是在那
些把他看成是一个受到容忍的叛国者的人们中
间渡过他的晚年的。但是，即使做一个生活在
巴黎，维也纳，柏林或伦敦的外侨，他的晚年
也未必会生活得更好一些。
第二章
数学
巨匠热
整个十七世纪，大多数大学数学家仍然停
留在经院哲学过时的传统之中，数学发展的主
要动力来自与大学相对抗的文艺复兴时期的人
文主义者。①最富有成果的和最具独创性的研
究是由那些富有天才的业余爱好者完成的，由
于他们富有某种专门的，特殊的才干，有时被称
为“巨匠”（或用意大利语说，“才子”(virtù>）。
这种选拔出一些人来作为理智英雄的倾向激励
①英国的亚·沃尔夫在其《十六、十七世纪科学，技术
和哲学史》中写到：“十七世纪哲学仅仅是神学的侍婢，
而大学则是教会的灰姑娘。事实上，这个时期鲜明的
特点是：大多数现代思想先驱都完全脱离大学，或者
只同大学保持松驰的联系。”——译者
41
了相互竞争的个人主义精神，而不是那种合作
研究的精神——这种态度有可能鼓励新思想的
发展，但是，它也有把数学缩小使之越来越专
门化的倾向
竞争的精神在新定理和新方法的优先发明
权方面产生了相当大的嫉妒这种嫉妒的一种
表现形式就是提出一些引起争论的问题的习
惯，提出问题的人往往自己已经解决了问题，
并要求发表他的个人成果莱布尼茨曾经多次
卷入此类挑战之中，这些挑战激发了他，使他
作出大量有益的发现，例如人们通称为垂曲线
的曲线方程，最速降线以及等时曲线的方程。
对发明天才的崇拜使得人们对各种设想本
身比对它们的仔细推敲更感兴趣。这就增强了
莱布尼茨对彻底弄清自己的思想以及审视更加
广泛的东西有着一种本能的反感。那些被看作
是最终成果，然而只不过是部分形成的思想，
注定了他的某些最有灵气的思想也完全不能引
起人们的注意。一个很好的例子就是他对拓扑
学基本原理的发现。他为拓扑学杜撰了一个拉
丁名字，这个名字有时还在用，这就是分析形
位(analysis situs)。莱布尼茨把它看作对
笛卡儿解析几何的完善。笛卡儿的解析几何从
空间得到的几何图形中抽象出它的数量方面，
42
而且把它们简化为纯粹的代数项。莱布尼茨的
分析形位也是从一切具有量的形状（长度、角度、
曲率度等等)中抽象出来的，而且仅仅涉及到
上述物的一些关系。实际上这意味着研究那种
保留了那些无限易弯的形状的本来面貌的东
西。无论这些形状是多么可以被扩延，被压缩
或者以别的方式加以变形。莱布尼茨的这种思
想直到十九世纪还处在潜在状态之中。但是后
来它就成为现代数学的中心问题了。对于非欧
几何学的发展来说，就更是如此。
二进位制算法
莱布尼茨的数学发现多数是在巴黎时得到
的。其中潜伏着的最重要的发现之一就是二进
位制算法，虽然在实际上他并不是发现这种算
法的第一个人。早在十七世纪初，托马斯·哈
里奥特就已经想到了它。1670年卡瓦利埃里又
再次提到它。莱布尼茨自己后来确信，中国人肯
定也知道它，因为在《易经》的理论中已经包
含它了。
二进位制系统是最简便的可能的数字记数
法。我们通常用的十进位制系统中每个位数个
位、十位、百位等等)都有十个符号可供选择。
在二进位制系统中就只有两个符号，一个表示
43
空位，另一个则标示实位。如果位能够任意规
定，如被一个栅极所规定的话，那么所要求的
一切也就是一个表示实位的任意标记或符号。
如果约定用0表示空位，用1表示实位，那么
这个系统就会象下面这样进行运算：
0123456789
01101110010111011110001001...
虽然莱布尼茨为他自己的发现感到自豪，
但是他却完全没有运用它。不象卡瓦利埃里及
现代的数学家们那样，他没有把这一发现一般
化为具有它自己专门定理的模数算术的理论。
除了一个非常模糊的草稿而外，他也没有试着
去设计一种运用此项发现的计算机。我们可能
感到十分奇怪，在计算机的时代中，有那么一
个人，他既发明了计算器，又发明了二进位制
算法，却不曾把这二者结合起来，进而提出某
种大体上接近于现代计算机的东西来。但是在
当时的技术条件下，一个二进位制的机器只会
增加莱布尼茨的困难。为了使这种计算器为一
般人所用，就需要更多的轮子，就会有更大的
摩擦力，进行更多的运算。而且还不得不有一
个特大的机器用于二进制和十进制之间的换
算。只是随着电子学的发展，二进位制系统才进
入它自己的时代。仅就与莱布尼茨有关而言，
44
这一发现最重大的意义还是形而上学方面的，
或者更确切地说是神学上的。因为它说明了整
个宇宙如何可以看成是由数所构成的。关于这
一点，我们回头在第六章中再谈。
无穷小计算
莱布尼茨在数学上的成就，其中尤为重要
的是他对无穷小计算的发现。这是在1675年他
即将离开巴黎时发现的。和对二进制的发现一
样，莱布尼茨也不是第一个发现无穷小计算的
人。牛顿大约早他九年，虽然莱布尼茨在1684
年第一个公布这一发现。
这种算法的意义是非常大的，以致人们一
般认为它标志着现代数学的开端。更进一步说，
如果没有这种算法，那么除牛顿已经取得的进
展而外，任何物理学的进展实际上都将是不可
能的。用一般的话说，这种算法所做的就是使
曲线和可变量服从于这样一类数学处理，这种
数学处理预先排除了常数，直线以及某些容易
由直线构成的曲线（圆，二次曲线或者从不同
角度切割锥体所得的曲线)。由于几乎所有的物
理量都处在规则变化的状态之中，所以使这些
变化从属于数学分析的一般方法就成为任何真
正的物理科学的先决条件。
45
无穷小计算分为两个部分：微分学和积分
学。微分学提供了一个决定某一量在任一瞬间
变化的比率的一般方法。这个量是在和另一个
量的相互关系中连续变化的，因此它是另一个
量的“函数”。顺便提一句，莱布尼茨是第一个
在现代意义上使用一个变量的“函数”这个词
的人，即一个变量的值只为另一个变量所决定，
(例如一个落体所通过的距离就是它下落所用
时间的函数)。微分学可以用于计算行星运行的
轨道；描绘摆，波浪或颤动着的弦的运动；求
出用别的方法解不了的方程的值；以及确定函
数的最高和最低的值；计算有负载的射线的弯
曲；以及诸如此类的东西。
积分是微分的逆转。它在于从给定的某一
瞬间的值出发重建出一个整体来。换句话说，
就是增加一个维数。从一个点的变化比率出发
可以重建一条完整的线，从一条线的变化比率
出发，可以重建一个它所限定的面。而且从一
个面出发，就能指定出由旋转这个面所创造出
来的体。这种方法实际上用来确定重心，以及
诸如飞轮那样的旋转物体的惯性运动，当然也
还有别的更为复杂的用途。然而，它的适用范
围比微分有限一些，因为在一维之下完成微分
时，信息丧失，而一个整体并不总能被清楚地
46
重建起来的。莱布尼茨没有意识到这一点。这
是一个影响到他的形面上学的错误，它是由于
过份相信任何一个整体原则上都绝对能够从它
的任何部分出发而得以重建这一想法所致。
莱布尼茨更多地是为无穷小量的逻辑尊严
的问题而烦恼。当时的数学家们一般都认为，
就能从几何学上加以描绘这一意义上看，数学
的对象应该是实在的。他们对那种不能用直尺
和圆规画出的"假想的量深表·怀疑。例如√
无穷小，诸如在某一瞬间变化的速度就显然属
于这一类。例如，速度是被时闻所分割的距离
的变化；但是在某一瞬间，没有时间流逝也没
有距离被通过。这样，被时间所分割的距离的
概念也就成了完全没有意义的东西了。正如莱
布尼茨在1706年写给迪博斯的信中所说：
“无穷小是心理上的虚构。虽然在计算中
有它们的地位，就象虚根在代数学中那样”。
虽然莱布尼茨赞同那种认为无穷小需要一
个几何学基础的偏见，但是他达到微积分的途
径是代数的而不是几何的。他的发现产生于一
个无限系列聚敛于一极限上的看法。微分学是
确定这种系列的极限的一种方法，而积分学则
是发现其总和的一种方法。
莱布尼茨在巴黎的早期研究曾经特别地指
47
向变圆为方的古代难题。传统的看法认为，这
个难题就是要找到一种方法画出一个和给定圆
的面积精确相等的正方形来。用代数学的术语
来说，就是给π一个精确的数值，也就是给一
个圆的周长与它的直径的比率以一个精确的数
值的问题。通过作一个具有越来越多的边，恰
好是里里外外重合于一个圆的多边形，并且计
算出它们的周长之间的差分的办法曾经得到过
越来越接近的近似值。但是这样的一些结果必
然只是近似的。
当莱布尼茨自己发现一个其总和将是精确
的π/4的无限系列时，他认为自己已经朝着π的
精确值的目标迈进了重要的一步，这个系列如
下：
1/1-1/3+1/5-1/7+
现在所需要的是计算这个系列之和的一种
方法。人们最终认识到这是不可能的。已知一
个圆的直径，这个圆的圆周长度的任何数字表
示都将伸展到无限的小数位。但是，由于被部
分的成功所鼓舞，莱布尼茨对无限系列和它们
的总和的理论进行了深入细致的研究。在他进
行这项工作的过程中产生了大量就其本身作用
而言相当重要的结果。这里仅举一个例子，如
他发现了那种曾经被称为“莱布尼茨检验”的
48
东西，用它来检验一个无限系列是否将被收敛
到一个单一的有限之中去。
当然，他从未发现他的化圆为方的宝贝的
荒唐之处，但是他的研究确实引出了关于无穷，
小计算这样一个伟大得多的珍品。他所发现的
是：一条曲线在某一点上的变化率（与此对应的
是某一瞬间的变化率)可以被看作是一个被越
来越短的直线的变化率所产生的一个无限系列
的极限值。正是从这一点出发，他把微分方法
发展为一般的方法。同样，一条曲线围成的面
积也可以被看作是曲线范围内无限多无限薄
的各个线段构成的无限系列的总和。正是这种
方法的一般化得到了积分的方法。
莱布尼茨在微积分上所做的工作，或许甚
至比他自己意识到的要更加成功一些。如果他
实现了他的化圆为方的抱负，他的发现就会是
只解决了本身的问题。反之，微积分的发现则
宣告了数学的一个全新时代。至于说到他没有
能够给微积分一个坚实的几何学基础这一点，
很显然，正是由于他从代数学出发去处理问题
这一事实才使得他的体系高于牛顿的体系。
优先权的争论
当莱布尼茨在十七世纪最后几十年发展并
49
发表他的微积分时，他真的不知道牛顿在他
前已经发现了它。在他呆在巴黎的那段时间中，
他从牛顿的一个主要通信者那里得知牛顿在微
积分方面已经取得了某些进展但是牛顿在信
中对他的一般方法丝毫未加披露。莱布尼茨的
看法肯定已被证实，他很晚，也就是1689年才
第一次读牛顿的《数学哲学原理》一书，而牛
顿的这部著作几乎完全是用传统数学的专有术
语表述的。无可奈何的事实是，微积分算法对某
些证明来说是不可或缺的，而且会使其余的
大部分证明不是那么繁琐和含糊不清。
莱布尼茨知道微积分是极为重要的，而且
他不能相信他的对手竟会在那些恰恰是微积分
有最大作用的地方还有意隐瞒它。在这个问题
上，他一直采取一种典型的未来主义者的立场。
即看到他自己的工作以及他同时代人的工作在
未来的光芒中进展然而也要消失。我们过分倾
向于从历史的角度去看待牛顿的《原理》了，
把它看成开始了一个“牛顿时代”，因此，我们
也就常常会象莱布尼茨一样为这样忽略了微积
分而困惑。相反，牛顿自己却认为，他是一直
在完成他的古代和近代先驱者们所预言的工
作，而不是创造什么全新的东西。因而他更加
倾向于强调他是站在巨人们的肩膀上继续前
50
进的就是完全撇开这点不说,也还有一个纯
粹实际的考虑，那就是他可能希望这本仅仅以
传统数学为前提的著作可以赢得更加广泛的读
者
甚至当牛顿的“流数的方法”出版面最终
公之于众时,它和莱布尼茨的无穷小计算在实
质上是相同的这一点也不是一眼就能看得出来
的。他的方法基本上是几何学的，他所使用的
术语令人可疑地联想到经院哲学关于点和线
“流动”的莫明其妙的说法他的符号，其中包
括在字母上增加或者去掉一些点，用起来是笨
拙且困难的。相反，莱布尼茨的方法是代数学
的，他所用的语言是新鲜的，而且是专门的。
他把这些术语编为诸如微分，积分，坐标以及
函数等等，而且他的符号是清楚且讲究的，这
种符号我们至今还在使用。它是基于用d表示
dx
差分（如在微分的符号dx/dv
中)，用现代的长s(S)
s(S)来表示“和”或积分
如果事情由牛顿和莱布尼茨自己来决定，
那在他们之间就可能没有什么特别的争吵，但
是十八世纪初，他们的海峡两岸的支持者就开
始为两个体系各自的功绩以及发现的优先权而
进行争论了。牛顿和莱布尼茨不久也卷入到这
种争论之中，这种争论也就令人不快地变得刻
51
毒了。特别是莱布尼茨不得不保护自己而反对
指控他早在七十年代就剽窃牛顿信件的内容，
后来又易昭为昏。
怀疑莱布尼茨的发现实际上是*得到的
并不合情理。但是为争论所激起的民族主义热
情以及有利于牛顿优先权的不容置疑的证据，
给英国的数学带来了不幸的后果。当十八世纪
的大陆数学家们在微积分的理论上取得迅速进
展，并且把它运用于牛顿物理学时，英国人却
由于对牛顿那种很不适用的流数方法的忠诚而
止步不前，而且在一片死气沉沉中停滞了一个
多世纪。
第三章
自然科学
力和能量
莱布尼茨对自然科学的主要贡献在手他澄
清了力学中的某些关键概念。理论家们一直在为
把日常生活中的模糊概念转变为严格的科学概
念而斗争。其第一步一—
这一步最初是由伽利
略迈出的——就是要摆脱常识性的假设，代之以
新的原理。常识性的假设认为；如果没有一个力
使物体保持运动，它们就会停止运动。而新的原
理则认为：如果没有一个力作用于物体，物体就
会保持它们的运动。笛卡儿企图把伽利略所建立
的运动法则系统化。但是，由于在诸如“运动量”
“力”这样一些概念上表述不清而陷入了困境。
莱布尼茨最早的成功就在于对笛卡儿的概
念解释中的缺陷作出了一个清楚的判断。这是
53
他在巴黎时靠惠更斯的指点才做出的行动
笛卡儿把他的体系建立在运动守恒法则的
基础上。他的想法是：神在创造了物质世界之
后再给它以运动；虽然运动可以在一个物体与
另一个物体之间相互转换，而且物体运动的方
向也可以改变，但是运动的总量却必定保持不
变。莱布尼茨指出，笛卡儿的表述至少有两个
方面存在着严重的混淆。
第一个混淆之处就在于笛卡儿在谈到运动
时没有在速率和速度之间作出适当的区分。速
率是在特定时间所通过的距离的量度，而速度
却是被称为矢量的东西。它是在特定的时间，
特定的方向上所通过距离的量度。莱布尼茨认
识到：如果有什么被保留的话，那必定是速度
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